$\mathrm{If} \mathrm{J}=\frac{\partial (\mathrm{x},\mathrm{y})}{\partial (\mathrm{r},\mathrm{\theta })} \mathrm{and} \mathrm{J}*=\frac{\partial (\mathrm{r},\mathrm{\theta })}{\partial (\mathrm{x},\mathrm{y})}, \mathrm{then} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{JJ}* \mathrm{is\_\_\_\_\_}.$

$\mathrm{The} \mathrm{total} \mathrm{area} \mathrm{enclosed} \mathrm{between} \mathrm{y}=\sin \mathrm{x}, \mathrm{and} \mathrm{x}-\mathrm{axis} \mathrm{in} [0,\mathrm{\pi }] \mathrm{is\_\_\_\_\_}.$

${\int }_{-1}^1\mathrm{x}\left|\mathrm{x}\right| \mathrm{dx}=\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_}.$

$\mathrm{If} \mathrm{x}=\mathrm{r} \mathrm{cos\theta } \& \mathrm{y}=\mathrm{r} \mathrm{sin\theta } \mathrm{then} \mathrm{J}=\frac{\partial (\mathrm{r},\mathrm{\theta })}{\partial (\mathrm{x},\mathrm{y})} \mathrm{is}$_____.

$\mathrm{Find} \mathrm{the} \mathrm{area} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{curve} \mathrm{y}={\mathrm{x}}^2 + 1 \mathrm{bounded} \mathrm{by} \mathrm{x}-\mathrm{axis} \mathrm{and} \mathrm{lines} \mathrm{x}=1 \mathrm{and} \mathrm{x}=2.$

$\mathrm{Determine} \mathrm{the} \mathrm{area} \mathrm{bounded} \mathrm{by} \mathrm{the} \mathrm{x}-\mathrm{axis} , \mathrm{the} \mathrm{curve} \mathrm{y}=\sin 2\mathrm{x}, \mathrm{and} \mathrm{the} \mathrm{line} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \mathrm{and} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}.$

$\mathrm{Determine} \mathrm{the} \mathrm{area} \mathrm{bounded} \mathrm{bythe} \mathrm{x} \mathrm{axis} \mathrm{the} \mathrm{curve} \mathrm{y}=2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-6, \mathrm{and} \mathrm{the} \mathrm{line} \mathrm{x}=4 \mathrm{and} \mathrm{x}=6.$

${\int }_0^1{\int }_0^{{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{e}}^{\frac{ \mathrm{y} }{\mathrm{x}}}d\mathrm{ydx}=$ _____.

${\int }_{-10}^{10}{\int }_{-1}^1{\int }_1^3\mathrm{xyz} d\mathrm{ydzdx}=$ _____.

Choose correct double integral for the following figure: